Stichproben mit präzisen Momenten

Allgemeine Statistik mit R, die Test-Methode ist noch nicht bekannt, ich habe noch keinen Plan!

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consuli
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Stichproben mit präzisen Momenten

Beitrag von consuli » Do Mär 16, 2017 2:20 pm

Hallo!

Ich möchte Stichproben mit präzisen Momenten aus einer Dichtefunktion (PDF) ziehen. Es geht also um die Standardfehler von Kurtosis, Schiefe, Standardabschweichung und Mittel, und zwar insbesondere in dieser Priorität.

Dazu habe ich - nach den wie stelle ich eine gute Frage Richtlinien des Forums - natürlich auch ein kleines Programm geschrieben.

Code: Alles auswählen

#################################
# Standardfehler der Momenten (EW, STD, Schiefe, Kurtosis) von Stichproben (SH)

##################################
# Some Setup

skewness_man= function(x) {
  n= length(x)
  n/(n-1)/(n-2) * sum( ((x- mean(x))/sd(x))^3) 
}

kurtosis_man= function(x) {
  n= length(x)
  n*(n+1)/(n-1)/(n-2)/(n-3) * sum( ((x- mean(x))/sd(x))^4) 
}

# Function to construct a measurement population in data
pop2data= function(x, dd, m) {
  medpos= round(length(dd)/2)
  ffloor= floor(dd *m)
  frest= dd* m - ffloor
  
  frestcum= cumsum(frest)
  flow= rep(0, length(x))
  for (i in 1:medpos) {
    if (frestcum[i]>= 0.5) {
      flow[i]= 1
      frestcum[(i+1):medpos]= frestcum[(i+1):medpos] -1
    }  
    else {
      flow[i]= 0
    }
  }
  frestcumrev= rev(cumsum(rev(frest)))
  for (i in length(x):medpos) {
    if (frestcumrev[i]>= 0.5) {
      flow[i]= 1
      frestcumrev[medpos:(i-1)]= frestcumrev[medpos:(i-1)] -1
    }  
    else {
      flow[i]= 0
    }
  }
  f= ffloor + flow
  rep(x, f)
}

# pop2data Multiplier
m= 1000

# Sample Size
n= 10000

# Number of Samplings done
# o= 100
o= 1000

# Random Variable
u= seq(-100, 100, by= 0.01)
length(u)

##################################
# Main

# Construction mu
cmu= 0
# Construction deviation
csigma= 1
# Asymmetry paramater
a= 5

# probability density function (PDF)
f= function(u) { 1/(2 *sqrt(2*pi)) *exp(-0.5*((u-cmu)/csigma)^2)* (2/(1 +exp(-a*((u-cmu)/csigma)))) }
norm= integrate(f, -Inf, Inf)$value

# density data
dd= f(u)

# direct draw of the population with PDF f
ud= pop2data(u, dd, m)
length(ud)

# calculating its moments
u_mean= mean(ud)
u_s= sd(ud)
u_skew= skewness_man(ud)
u_kurt= kurtosis_man(ud)

# drawing sample from u with the density dd
sd= sample(u, n, replace= T, prob= dd)

# calculating its moments
s_mean= mean(sd)
s_s= sd(sd)
s_skew= skewness_man(sd)
s_kurt= kurtosis_man(sd)


# True moments of the poulation and random moments of the random sample
u_mean
u_s
u_skew
u_kurt

s_mean
s_s
s_skew
s_kurt


# Calculating the moments' of o multiple random samples 

results= data.frame()
for (i in 1:o) {
  # drawing sample from u with the density dd
  sd= sample(u, n, replace= T, prob= dd)
  
  # calculating its moments
  s_mean= mean(sd)
  s_s= sd(sd)
  s_skew= skewness_man(sd)
  s_kurt= kurtosis_man(sd)  
  
  results= rbind(results, t(c(s_mean, s_s, s_skew, s_kurt)) )
}
colnames(results)= c("mean", "s", "skew", "kurt")


# Moments' numerical expected value of o multiple random samples 

ev_mean= mean(results$mean)
ev_s= mean(results$s)
ev_skew= mean(results$skew)
ev_kurt= mean(results$kurt)

ev_mean
ev_s
ev_skew
ev_kurt


# Moments' numerical standard errors of o multiple random samples 

se_mean= sd(results$mean)
se_s= sd(results$s)
se_skew= sd(results$skew)
se_kurt= sd(results$kurt)

se_mean
se_s
se_skew
se_kurt
Aus dem Programm wird folgendes Problem ersichtlich. Die Stichproben der R Fuktion sample() besitzen für höhere Momenten (Kurtosis, Schiefe) relativ hohe Standardfehler.

Fragen
1. Gibt es in R andere Stichprobenfunktionen?
2. Könnte ich das stratified Bootstrapping aus boot für meinen Zweck missbrauchen?
3. Was ist der Quellcode von sample.int ?
4. Wie sampled man manuell mit erhöhter Präzision?


Bereits von mir durchgeführte Lösungsversuche
1. "reject/pursuit" Sampling. Ich ziehe mit sample() solange eine Stichprobe, berechne aus dem Vergleich mit pop2data-Momenten ihre Momentenfehler und verwerfe sie, bis eine Ziehung meine Momentenfehlererwartungen erfüllt. Was sich zunächst toll anhört, ist aber nur ein Sturm im Wasserglass. Denn bei meinen idealen Fehlerwartungen, muss ich ungefähr 1000 bis 10000 mal ziehen, bis ich eine passende Stichprobe erhalte. Ich hab das dann irgendwann abgebrochen.
2. Ich ziehe einfach aus meiner Messpopulation aus pop2data. Das Problem daran ist, dass die Messpopulation nur eine mögliche Messpopulation von vielen möglichen der gegebenen PDF ist. Immerhin konnte ich auf diesem Weg feststellen, dass symmetrisches Ziehen (q-> -q) die Standardabweichung der Schiefe verrringert (aber die Standardfabweichung der Kurtosis steigen lässt.)
Das ist derzeit alles, was ich zur Lösung beitragen kann.

Insbesondere würde mir auch ein Verschieben der Präzision auf die hohen Momente (Kurtosis, Schiefe) sehr weiterhelfen, selbst wenn die Momente Standardabweichung und Erwartungswert dadurch grottenschlecht würden.
Knapp eineinhalb Stunden vor Anpfiff tänzelt die Abschlussfeier der WM über den Rasen des vielleicht zu einem Drittel gefüllten Maracana.

consuli
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Re: Stichproben mit präzisen Momenten

Beitrag von consuli » Fr Mär 17, 2017 1:21 pm

Könnte ich stratified sampling verwenden, um die Präzision meiner Stichprobe zu erhöhen?

Vgl. http://wiki.awf.forst.uni-goettingen.de ... ampling/de

In meinem Fall würde das stratum allerdings wohl davon abhängen, welche Elemente ich bereits gezogen habe. :roll:
Knapp eineinhalb Stunden vor Anpfiff tänzelt die Abschlussfeier der WM über den Rasen des vielleicht zu einem Drittel gefüllten Maracana.

bigben
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Re: Stichproben mit präzisen Momenten

Beitrag von bigben » Di Mär 21, 2017 5:48 pm

Ich habe keine Ahnung, warum Du so etwas machen willst und würde raten, genau das noch einmal gründlich zu hinterfragen. Augenscheinlich ist solange Stichproben ziehen, bis eine passt, der Weg, der noch halbwegs so etwas ähnliches wie i.i.d. ist. Das bist aber bereit zu opfern.

Ein möglicher Schritt wäre, sich elementweise heranzutasten: Du ziehst eine unnötig große Stichprobe und berechnet für jedes von deren Elementen, wie die Momente sich entwickeln, wenn Du dieses Element löschst. Dann löschst Du das, welches am meisten bringt und dann wieder und dann wieder. Alternativ umgekehrt: einen Teil der Stichprobe zufällig ziehen und dann Element für Element ziehen und entweder verwerfen oder beibehalten, je nachdem, ob es die Zielstatistik in die richtige oder in die falsche Richtung verändert.

Ob's zu irgendwas gut ist?

HTH,
Bernhard
---
Programmiere stets so, dass die Maxime Deines Programmierstils Grundlage allgemeiner Gesetzgebung sein könnte

consuli
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Re: Stichproben mit präzisen Momenten

Beitrag von consuli » Di Mär 21, 2017 7:40 pm

Vielen Dank Bigben!

Ich glaube, dass alle zufälligen Stichproben - auch die bootstrapping Stichprobe aus boot - zu hohe Momentenstandardfehler für meine Zwecke haben.

Dein Vorschlag, zu einem zufällig gezogenen Stichprobenteil noch andere zu dem Moment passende Elemente zu ergänzen, klingt plausibel. Aber für eine Simulation mit vielen Iterationen sicher nicht performant genug.

Ich werde nun versuchen den "Dichte-Fallen-Lassen Ansatz" aus meiner bereits geposteten Funktion pop2data (vielleicht hätte ich sie lieber pdf2data nennen sollen?) mit variablen Parametern weiter auszubauen.
Ob's zu irgendwas gut ist?
Da die irgenwas-Menge unendlich groß ist, bin ich recht optimistisch. Frei nach dem Motto. Ungewöhnliche Probleme verlangen ungewöhnliche Ansätze. :)

Consuli
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