Gleichung mit Integral lösen?

[anna]

Hallo zusammen,

ich versuche die Gleichung
-0,175 = R * integral((1/sqrt(2*pi))*exp(-0,5*x^2), lower=-Inf, upper=R) + (1/sqrt(2*pi)) * exp(-0,5*R^2)
nach R aufzulösen.
Hat jemand eine Idee? Ich bin am verzweifeln

Vielen Dank!

[Athomas]

Hat jemand eine Idee?

Wer sagt Dir denn, dass es so ein R überhaupt gibt?

[anna]

denn

Weiß ich aus dem Zusammenhang...aber auch unabhängig ob dieses Beispiel mathematisch lösbar ist, hast du eine Idee wie man sowas mit R lösen könnte?

[Athomas]

Weiß ich aus dem Zusammenhang

Meiner Meinung nach stimmt das nicht!

Wenn analytisch nix geht, kann man numerisch eine Lösung suchen - die von Dir verwendeten Funktionen sind ja als "pnorm" und "dnorm" in R "fest verdrahtet"!

[anna]

ok...aber grundsätzlich geht das wenn ich eine Integral mit variable habe und eine Lösung , nach der Variable aufzulösen?

[Athomas]

Warum redest Du von "auflösen"? Du suchst einen (oder mehrere) R-Werte, für die die Gleichheit beider Seiten gilt, so wie bei 3*R=7 - nur ein bisschen komplizierter...

Dein "Integral mit variable" ist ja wieder eine Funktion (von R), im konkreten Fall halt pnorm(R), also die Wahrscheinlichkeit, dass eine standard-normalverteilte Zufallsvariable <= R ist...

[anna]

Ja ganz genau. Mit auflösen meine ich, dass R mir ausgegeben wird, also für welches R die Gleichung gelöst wird.

[jogo]

Hallo Anna,

das sieht wohl eher schlecht aus für die Existenz einer Nullstelle:

Code: Alles auswählen

myfu <- function(R) 0.175 + R*pnorm(R) + dnorm(R)

plot(myfu, -100, 0)
R <- (-10000):0
any(myfu(R)<0)

Bist Du Dir sicher bezüglich der Konstanten auf der linken Seite. Wenn diese das andere Vorzeichen hätte, gäbe es eine Lösung:

Code: Alles auswählen

C <- -0.175
myfu <- function(R) C + R*pnorm(R) + dnorm(R)
uniroot(myfu, c(-300, 300))

Gruß, Jörg

[consuli]

Statt einer analytischen Lösung könnte man auch durch numerische Integration diverse Werte des Integrals durchklimpern:

integrate {stats}
Integration of One-Dimensional Functions
Description

Adaptive quadrature of functions of one variable over a finite or infinite interval.
Usage

integrate(f, lower, upper, ...)

Arguments
f an R function taking a numeric first argument and returning a numeric vector of the same length. Returning a non-finite element will generate an error.

Für mehrdimensionale Integrale gibt es noch andere numerische Integrationsfunktionen.